高知県公立高校入試問題・三平方の定理問題集
下の図のように，円Oに内接する△ABCがある。点Cにおける円Oの接線とABの延長との交点をPとする。また，点Pを通りBCに平行な直線とACの延長との交点をQとする。このとき，次の（１）・（２）の問いに答えなさい。ただし，AC＞BCとする。
（１） △ABC ∽ △PCQであることを証明せよ。
（２） CQ＝４cm，PQ＝7cmのとき，BCの長さを求めよ。
解けましたか？それでは解答です。
(1) （証明）△ABCと△PCQにおいて
BC∥PQ より，同位角は等しいから ∠ACB＝∠PQC……①
BC∥PQ より，錯角は等しいから ∠BCP＝∠CPQ……②
接線と弦のつくる角の定理より ∠BCP＝∠BAC……③
②，③より ∠BAC＝∠CPQ……④
①，④より，２組の角がそれぞれ等しいので △ABC∽△PCQ
(2) BC∥PQ より △ABC∽△APQ，(1)より △ABC∽△PCQ，
よって △APQ∽△PCQ，である。
AQ：PQ＝PQ：CQ，より AQ：7＝7：4，4AQ＝49，AQ＝49/4
よって AC＝AQ－CQ＝49/4－4＝33/4
一方 △ABC∽△PCQ，だから
BC：CQ＝AC：PQ，BC：4＝33/4：7，7BC＝33，より BC＝33/7
