京都府公立高校入試問題・二次方程式の問題集
右のT図のように,1番目,2番目,3番目,4番目,…と同じ大きさの正方形の白いタイルを,すきまなく規則的に並べて図形をつくっていく。
このとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1) m番目の図形には,白いタイルは何枚あるか。mを用いた式で表せ。
・・・・・・・・・・・・・・答の番号【7】
(2) 右のU図のように,1番目,2番目,3番目,4番目,…とT図の図形の一部を,白いタイルと同じ大きさの黒いタイルに規則的におきかえていく。
いま,n番目の図形では,白いタイルの枚数が,黒いタイルの枚数より119枚多かった。このときのnを求めよ。
・・・・・・・・・・・・・・答の番号【8】
解けましたか?それでは正解です。
(1) 1番目から4番目の図から,m番目の正方形には,一辺に(m+1)枚のタイルが並んでいることがわかる。よって,使われたタイルの枚数は(m+1)2枚である。展開した形の(m2+2m+1)枚も正解となる。
(2) n番目の図形において,白いタイルの枚数はn2枚である。黒いタイルの枚数は
2(n+1)−1=2n+1(枚)である。
よって,n2=2n+1+119
n2−2n−120=0
(n+10)(n−12)=0,n=−10,12 nは正の数であるから,n=12となる。